Теория автоматического управления




Передаточная функция - часть 3


Кроме того, преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции.

Вынеся в уравнении (2.3) Xвых(p) и Xвх(p) за скобки, получим:

(anpn+an-1pn-1+...+a1p+a0)Xвых(p)=

=(bmpm+bm-1pm-1+...+b1p+b0)Xвх(p).

Определим из этого уравнения отношение изображения выходной величины к изображению входной:

(2.4)

Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы).

Передаточная функция W(p) является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р:

где A(p)=anpn+an-1pn-1+...+a1p+a0- полином степени n,

B(p)=bmpm+bm-1pm-1+...+b1p+b0- полином степени m.

Из определения передаточной функции следует, что:

Xвых(p)=Xвх(p)W(p).

Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.

Рассмотрим примеры по определению передаточной функций некоторых простейших схем, характерных для электроники.

Пример 2.1.

Вывести передаточную функцию для схемы на рис.2.2, считая входным воздействием приложенное напряжение u, а выходным - ток в цепи i.

Рис.2.2

Процессы в схеме описываются уравнением:

Перейдем к изображениям по Лапласу:

U(p)=LpI(p)+RI(p)=I(p)(Lp+1).

Составим передаточную функцию как отношение изображения выходной величины к изображению входной величины:

где k=1/R- коэффициент передачи,

T=L/R- постоянная времени.

Передаточные функции принято записывать в такой форме, чтобы свободные члены полиномов от р равнялись бы единице, что и сделано как в рассмотренном примере, так и в последующих.

Пример 2.2.

Вывести передаточную функцию схемы на рис.2.3, считая входной величиной напряжение u1, а выходной - u2.

Рис.2.3

При выводе передаточной функции будем считать, что цепочка не нагружена (никаких элементов к выходным зажимам не подключено, либо эти элементы имеют сопротивление, стремящееся к бесконечности) и сопротивление источника входного напряжения настолько велико, что его можно считать равным бесконечности.




Содержание  Назад  Вперед