Теория автоматического управления



Где купить услуги детского офтальмолога. | Ландшафтное освещение читайте здесь. |

Передаточная функция - часть 2


Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа.

Функция X(p) называется изображением функции x(t), функция x(t) называется оригиналом функции X(p).

Операция перехода от искомой функции x(t) к ее изображению X(p) (нахождение изображения от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L как

L{x(t)}=X(p).

Операция перехода от изображения X(p) к искомой функции x(t) (нахождение оригинала по изображению) называется обратным преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L-1 как

L-1{X(p)}=x(t).

Формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций dn/dtn, dn-1/dtn-1...,d/dt соответственно на pn,pn-1,...p и функций x(t)- их изображениями X(p). С комплексной переменной p, как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.

Так как возможность однозначного перехода от дифференциального уравнения к алгебраическому значительно упрощает расчеты, то важно убедиться в правомерности такого перехода.

Обозначим в исходном дифференциальном уравнении

и согласно интегралу (2.2) найдем изображение:

Согласно правилу интегрирования по частям

При нулевых начальных условиях x(0)=0 и с учетом (2.2) получим:

Таким образом, операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число p.

Так как

то
и т.д.

Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков.

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение X(p) искомой функции x(t), определяющей переходной процесс в системе, находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.




Содержание  Назад  Вперед