Теория автоматического управления




Критерий устойчивости найквиста - часть 2


Результирующие передаточная и комплексная частотная функции разомкнутой цепи будут:

где

С учетом последнего

Видно, что звено с запаздыванием лишь вносит дополнительный сдвиг. При этом изменяется АФЧХ, т.е. меняются условия устойчивости (характеристика "закручивается" по часовой стрелке). При некотором

САУ станет неустойчивой.

По АФЧХ системы без запаздывания можно определить критическое (предельное) значение запаздывания

, что поясняется построением на рис.3.12.

Рис.3.12

Определяется точка, для которой

Частота, соответствующая этой точке -
, а фаза -
.

При введении запаздывания условие совпадения этой точки с точкой (- 1, j0) запишется

откуда

Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. А это равносильно замене отрицательной обратной связи на положительную. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усилением (т.е. k>1), то замкнутая САУ становится неустойчивой (любое увеличение сигнала на выходе приводит к увеличению сигнала на входе по цепи обратной связи, что вызывает дальнейший рост выходного сигнала и т.д.).

Для аналитических расчетов с помощью критерия Найквиста условия нахождения системы на границе устойчивости можно записать в двух формах:

а) используя вещественную и мнимую частотные функции разомкнутой цепи

(3.8)

б) используя амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой цепи

(3.9)

Аналитические расчеты существенно упрощаются в частном случае, когда в числителе Wр.ц.(p) присутствует только коэффициент передачи k, как, например, в структуре на рис.3.3. При этом комплексную частотную функцию можно записать

где

и
- соответственно действительная и мнимая части знаменателя
.

Но

в том случае, если
, значит

Тогда условия нахождения САУ на границе устойчивости (3.8) преобразуются к виду

или
(3.10)

Определим, воспользовавшись условием (3.10), значение kгр для структуры на рис.3.3.




Содержание  Назад  Вперед