Теория автоматического управления




Критерий устойчивости гурвица - часть 3


С помощью критериев устойчивости можно строить области устойчивости.

При проектировании САУ ряд параметров и звеньев являются заданными, так как они определяются требованиями технологического процесса и конструктивными особенностями объекта регулирования. В то же время имеется несколько параметров, которые можно менять в определенных пределах. Для определения влияния значений каких-либо варьируемых параметров на устойчивость строят области устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров.

Уравнения границ области устойчивости получаются из условий устойчивости, если заменить в них неравенства на равенства (это соответствует нахождению системы на границе устойчивости).

В общем случае границы области устойчивости по критерию Гурвица строятся по следующим уравнениям:

an=0, a0=0

Первое уравнение соответствует наличию у характеристического уравнения пары сопряженных мнимых корней, второе равенство соответствует наличию нулевого корня, а третье - наличию бесконечного корня.

Для САУ, уже рассмотренной выше (см. рис.3.3), зададим варьируемыми параметрами общий коэффициент передачи разомкнутой цепи k и постоянную времени T1. Уравнениями для построения границ области устойчивости будут:

k+1=0;

T1=0.

Границы области устойчивости изображены на рис.3.4. Около границ принято наносить штриховку в сторону области устойчивости.

Каждая точка внутри области устойчивости определяет комбинацию варьируемых параметров k и T1, при которых система устойчива. Причем, если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, она называется структурно неустойчивой. Для получения устойчивости в этом случае необходимо изменить структуру.

Рис.3.4

Пример 3.1.

Определить устойчивость САУ, структурная схема которой приведена на рис.3.5, воспользовавшись критерием устойчивости Гурвица.

Рис.3.5

Для установления устойчивости определим граничное значение коэффициента передачи и сравним его с имеющимся значением коэффициента.

Передаточная функция разомкнутой цепи

В соответствии с (3.3) характеристический полином замкнутой системы

Aз(p)=p(0,03p2+0,3p+1)+k(0,01p+1)=

=0,03p3+0,3p2+(1+0,01k)p+k=a3p3+a2p2+a1p+a0,

где a3=0,03; a2=0,3; a1=1+0,01k; a0=k.

Так как система имеет третий порядок, то она будет находится на границе устойчивости при равенстве нулю выражения (3.1):

a1a2-a0a3=0,3(1+0,01kгр)-0,03kгр=0

Отсюда находим kгр=11,1

Коэффициент передачи разомкнутой цепи k=8,4 меньше, чем kгр Следовательно, система в замкнутом состоянии устойчива.

 К содержанию




Содержание  Назад  Вперед